Ce T.P. a pour objectif de vous faire découvrir d'autres manières de calculer des surfaces.

T.P. calcul de surfaces.

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Dans votre espace, vous réaliserez une page pour chacune des parties
Vous devez m'appeler à la fin de chaque partie pour validation.
Pour réaliser les graphiques, consultez :

• pour PHP : http://btsio.org/2018/wikibtsio/wakka.php?wiki=BibliGdPhpMe
• pour python : http://btsio.org/2018/wikibtsio/wakka.php?wiki=DessinerAvecPython

Première partie

On dispose d’une cible carrée de côté de longueur deux,
On lance des fléchettes sur cette cible.
On suppose que l'on tire toujours dans la cible (utilisation d’une fonction de génération aléatoire),
On génère dans ce carré, des points aléatoires la répartition est uniforme (aucun endroit n'est privilégié).
On découpe la cible en quatre parties égales. On souhaite connaître les fréquences avec lesquelles on atteint le coin inférieur gauche de la cible (Le quart en bas à gauche de la cible) et le reste de la cible.
Attention, contrairement au vrai jeu de fléchettes, la répartition des tirs est uniforme.
Ici on ne cherche pas à atteindre le centre de la cible !

Question 1 :
Cette partie est sans programmation.
En considérant la cible précédente de côté deux.
Quelles sont les fréquences, si on réalise mille générations de points tirs successifs de fléchettes, de tirer dans d'obtenir un point dans le quart en bas à gauche de la cible ?
Les fréquences pour atteindre les quatre carrés qui composent la cible sont-elles les mêmes ?
L’intuition et le bon sens doivent suffire pour vous permettre de proposer une réponse que nous allons vérifier dans la partie suivante par des simulations sur ordinateur.

Question 2 :

• Dans cette partie nous allons vérifier votre intuition.

La règle que nous supposons vraie est que le rapport des fréquences doit être égal au rapport des surfaces.
Dans les parties suivantes, on simulera l’expérience grâce à des programmes informatique (. Vous choisirez l’un des langages suivants : PHP, Python ou Java, la seule contrainte que j’impose est que sur l’ensemble du groupe (12 étudiants) chacun des trois langages doit être utilisé au moins trois fois.
(Une page sera dédiée à votre choix dans chaque groupe)
Vous aurez besoin d’un générateur de nombres aléatoires qui dépendra bien entendu du langage que vous utilisez.
De plus, vous pouvez représenter les expériences (les générations de points) (les tirs de fléchettes) grâce à un dessin et/ou un graphique.

Question 3 :

• Réalisez l’expérience précédente plusieurs fois et avec plusieurs valeurs pour le nombre de tirs total.

Par exemple : 100, 500, 1000, 5000 et 10 000.
Présentez dans un tableau, dans votre compte rendu, les résultats de vos tests.
Voyez-vous une méthode pour améliorer la précision du résultat ?
Le résultat est-il plus précis si vous réalisez plus d’expériences ?
Conclure ?

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Seconde partie

• En réinvestissant la première partie, je vous propose un exercice similaire, mais qui permet de calculer le nombre Pi.

Des explications complémentaires seront données en cours si c’est nécessaire.

Vous devrez fournir les codes des programmes, mais vous pourrez changer de langage en respectant la règle définie ci-dessus.
Vous devez fournir comme d’habitude vos sources et les exécutables (en ligne si PHP).

• Question 1 :
  • Je vous propose de réfléchir sur le choix de la surface la plus adaptée qui vous permettra d’atteindre l’objectif.

• Question 2 :
  • Avec la surface fermée définie ci-dessus, faites le même raisonnement que dans la première partie et en déduire grâce à un calcul similaire une valeur approchée de Pi.

Cette méthode est appelée la méthode de Monte Carlo.

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Troisième partie

• En partant des exemples précédents on vous demande de calculer non plus la valeur d'une surface fermée, mais la surface sous une courbe, délimitée par deux droites verticales, x=x1 et x=x2.

• Après avoir choisi une fonction, par exemple f(x) = y = x² et deux nombres par exemple x1 = 1 et x2 = 5, adaptez la méthode précédente pour calculer la surface entre la courbe y=x², l’axe des abscisses et les deux droites x=1 et x=5.

Pour calculer cette surface S, cela correspond en mathématiques au calcul de l’intégrale suivante :

• Question 1 :
  • Définissez la surface S dans laquelle vous placez votre étude, à priori les droites x=1 et x=5, il reste ensuite à déterminer une hauteur ...

• Question 2 :
  • Donnez le programme ainsi qu’une valeur approchée de la valeur recherchée.
  • Pour cela je vous demande de réaliser plusieurs simulations, vous mettrez les résultats dans votre compte rendu.

• Question 3 :
  • On comparera avec la valeur que donne le résultat mathématique.
  • Le résultat et le calcul mathématique de cette intégrale vous seront présentés en cours pour information.

• Question 4 :
  • Choisissez une fonction puis donnez les deux bornes et calculez la surface sous la courbe (avant il faudra venir me voir pour valider votre choix). Pensez à dessiner votre courbe grâce par exemple à votre calculatrice ou à un ordinateur (c.f. lien en fin de ce document).

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Quatrième partie

• Comme on l’a vu en cours, il existe une autre méthode pour calculer la surface sous une courbe.

On approxime la surface sous la courbe par de nombreux rectangles, en définissant une suite régulière de nombre sur l'intervalle [a,b] des abscisses (Voir le dessin ci dessous).
Pour simplifier on considère des intervalles réguliers, on choisira donc un epsilon adapté !
x0=a
x1 = a + epsilon
x2 = a + 2*epsilon

xn = a + n*epsilon = b

En cours nous avons pris : epsilon = (b - a) / n
Les rectangles sont définis par un côté « epsilon » et une hauteur de « ».

f étant la fonction dont on souhaite calculer la surface sous la courbe.
Les formules qui donnent un minorant de la surface sous la courbe et un majorant ont été expliquées et données en cours.

• Question 1 :
  • Dans un premier temps, commencer à répondre aux questions suivantes en choisissant une droite y = ax + b .

• Question 2 :
  • Dans la relation suivante complétez les valeurs de a, b et S : S + a ≤ Surface sous la courbe ≤ S +b

• Question 3 :
  • Pour la fonction de la troisième partie (partie précédente), faites le calcul avec cette nouvelle méthode, qu’en pensez-vous ?
  • Donnez l’encadrement de la valeur de la surface.
  • Vérifiez le grâce à un programme informatique.

• Question 4 :
  • Les mathématiques nous permettent de calculer certaines intégrales c.f. le résumé de cours.
  • Appliquez la méthode à la fonction que vous avez choisie dans la partie précédente.

• Question 5 :
  • Comment est définie la fonction logarithme ?
  • En utilisant ce qui précède, approximez la valeur de ln(2) !
  • Cette partie sera abordée de nouveau en cours si nécessaire.

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Cinquième partie

• En mathématique si la fonction est « assez régulière », l’intégrale existe, mais savons-nous toujours la calculer explicitement ?

Considérons l’exemple suivant :


Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Gauss

• Question 1 :
  • Dessinez la courbe représentative sur l’intervalle [-7 , +7 ]
  • Déterminez un encadrement de la surface (intégrale) de 1 à 5, avec la méthode précédente.
  • Vous prendrez k=1.

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Aide en ligne (exemples) :

Pour vous aider à éditer les équations mathématiques : http://visualmatheditor.equatheque.net/

Pour tracer une fonction ou une courbe : https://www.solumaths.com/fr/graphique-logiciel-traceur-courbe/tracer
https://www.mathe-fa.de/fr

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